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CNRS Université Paris Diderot

PPS Laboratoire Preuves, Programmes et Systèmes

Groupe de travail Catégories supérieures, polygraphes et homotopie

présentation

Les catégories de dimensions supérieures et les polygraphes apparaissent très naturellement dans l'étude de systèmes de réécriture variés, le cas de base étant celui d'un monoïde présenté par générateurs et relations : aussi bien le monoïde lui-même que l'espace des calculs dans la présentation choisie portent une structure d'omega-catégorie.

L'un de nos objectifs est l'exploration des invariants homotopiques de telles structures et de leur relation aux propriétés du calcul, mais d'autres thèmes connexes seront abordés, au gré des participants.

programme 2014-2015

Le calendrier prévisionnel se trouve ici

archives

2013-2014

2012-2013

2011-2012

2010-2011

2009-2010

notes et présentations d'exposés

  • Pierre-Louis Curien.
    • Introduction aux catégories de modèles. pdf
    • The weak omega-groupoid of identity types. pdf
  • Yaël Frégier.
    • Introduction à l'utilisation de la notion de codérivation en théorie de l'homotopie. pdf
  • Jonas Frey.
    • Notes on 2-categorical limits. pdf
  • Yves Lafont.
    • Diagrammes et Sigma-diagrammes. pdf
  • Philippe Malbos.
    • Identités entre relations en réécriture polygraphique. pdf
  • Paul-André Melliès.
    • Introduction aux structures de Yoneda. pdf
  • Tim Porter.
    • Identités, cohomologie et présentations. pdf
  • Pierre Rannou.
    • Diagrammes et co-opérations. pdf

participants

Chacun est invité à exprimer ici ses attentes et ses objectifs...

Yves (Lafont)

Mes objectifs sont assez variés, car je travaille dans le sujet depuis pas mal de temps :

  • trouver de nouvelles présentations de 2-catégories par des 3-polygraphes, et en particulier, des systèmes de réécriture de diagrammes convergents;
  • trouver une formulation purement catégorique (en termes de résolutions polygraphiques) pour le théorème de Kobayashi sur l'homologie d'un monoïde présentés par un système de réécriture convergent (qui généralise le théorème de Squier en toute dimension);
  • développer la théorie des Σ-diagrammes (= sommes formelles de diagrammes) et établir un lien avec les travaux de Loday sur les bigèbres généralisées.

Tom

Mon objet d'étude est la théorie des langages de programmation, dont les questions fondamentales concernent en particulier:

  • la spécification de langages de haut niveau,
  • leur compilation vers des langages plus bas niveau, avec préservation du comportement,
  • l'analyse statique, visant à assurer certaines propriétés de programmes donnés, à démontrer l'équivalence entre deux programmes, etc.

Sur tous ces plans, on commence à savoir faire pas mal de choses (voir par exemple le compilateur certifié de Xavier Leroy et ses collègues). Cependant, il manque, me semble-t-il, un cadre général dans lequel formaliser ce savoir-faire. J'expérimente actuellement des structures algébriques qui permettraient de décrire un langage comme la structure engendrée par une certaine signature. Mes candidats combinent les notions de catégorie monoïdale fermée et de 2-catégorie — ou de catégorie double — et sont donc de dimension 3 (4 si on commence à s'intéresser à l'équivalence de Lévy), d'où mon intérêt pour les catégories supérieures.

De plus, pour essayer de deviner les bons axiomes, j'utilise les outils de Tom Leinster et Mark Weber

  • T. Leinster. Nerves of algebras. Category Theory 2004 web page
  • M. Weber. Familial 2-functors and parametric right adjoints. Theory and Applications of Categories 18, p665-732, 2007 web page,

qui permettent de spéficier une structure algébrique, en gros, par l'ensemble des "formes" des éléments de la structure libre engendrée par l'objet terminal. Ces outils ont été développés en grande partie pour les catégories supérieures et maintenant que je les comprends un peu, j'ai envie de les voir à l'oeuvre.

Dimitri

Quelques références sur les catégories et les types d'homotopie.

François

Le petit texte de présentation en haut de la page exprime ma principale motivation. D'une façon plus précise, deux objectifs me tiennent particulièrement à coeur :

  • comprendre suffisamment la catégorie homotopique associée à la structure modèle folklorique sur omega-cat pour pouvoir y faire des calculs effectifs.
  • résoudre la question de la monadicité de l'adjonction entre polygraphes et omega-catégories.

bibliographie

  • E.Cheng & M.Makkai. A note on the Penon definition of n-category. Cahiers de Topologie et de Géom. Différentielle Catég. 51(3) :205-223 (2010) arxiv
  • Y.Guiraud & P.Malbos. Identities among relations for higher-dimensional rewriting systems. (2010) pdf
  • M.Kapranov & V.Voevodsky. $\infty$-groupoids and homotopy types. Cahiers de Topologie et de Géom. Différentielle Catég. 32(1):29-46 (1991) numdam
  • S.Kasangian, G.Metere & E.Vitale. Weak inverses for strict n-categories (2009) pdf
  • Y.Lafont, F.Métayer & K.Worytkiewicz. A folk model structure on omega-cat (2009) hal
  • R.Street. The algebra of oriented simplexes. JPAA 49(3):283-335 (1987) pdf